A：
文法書によるとどちらも「勧誘・誘いの表現」とあります。
『初級日本語文法と教え方のポイント』
しかし、例えば以下のような写真の画面で男性が以下のように言っていたらどうでしょう？
・お酒を飲みますか？
・お酒を飲みませんか？
・お酒を飲みましょうか？
どれも違和感がないように思います。
実際、「〜ましょうか？」「〜ませんか？」の違いは中級になっても不適切な使い方をしている学習者は多くいます。
誤用を防ぐためにはどう説明すればいいのでしょうか。
まず、以下の例文を見てください。
「開けます」
・窓を開けませんか？
・窓を開けましょうか？
「持ちます」
・荷物を持ちませんか？
・荷物を持ちましょうか？
「開けましょうか？」と「持ちましょうか？」は自分が行為をすることを提案しており、「開けませんか？」や「持ちませんか？」はどちらかというと相手にやってもらうことを促しています。
「〜ませんか？」は相手に行為を促す表現で「〜ましょうか？」は発話者が、もしくは発話者と相手が一緒に行為や動作を行うことを提案する表現なのです。
もちろん「〜ませんか？」も「一緒に」と共起すると「〜ましょうか？」と同じ役割になります。
・一緒に映画を見ませんか？
・映画を見ましょうか？
・一緒に夕食を食べませんか？
・夕食を食べましょうか？
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